MatheAss 10.0 − Geometría 3D
Sistemas de coordenadas
Con este programa, las coordenadas cartesianas tridimensionales se pueden convertir en coordenadas polares o coordenadas cilíndricas y viceversa.
cartesiano polares cilíndrico x = 1 r = 1.7320508 ρ = 1.4142136 y = 1 φ = 45° φ = 45° z = 1 Θ = 35,26439° z = 1
Sólidos Platónicos
El programa calcula los cinco sólidos platónicos: tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro, cuando se dan la longitud de la arista, la altura de la cara, la altura espacial, el radio de la esfera inscrita, el radio de la esfera circunscrita, el volumen o la superficie.
Tetraedro
Dado:
¯¯¯¯¯
Esfera circunscr. rc = 1
Resultados:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Arista a = 1,6329932
Altura lateral h1 = 1,4142136
Altura h2 = 1,3333333
Esfera inscrita ri = 0,33333333
Volumen V = 0,51320024
Superficie O = 4,6188022
Hexaedro
Dado:
¯¯¯¯¯
Superficie O = 8
Resultados:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Arista a = 1,1547005
Diagonal lateral d1 = 1,6329932
Diagonal espacial d2 = 2
Esfera circunscr. rc = 1
Esfera inscrita ri = 0,57735027
Volumen V = 1,5396007
Octaedro
Dado:
¯¯¯¯¯
Volumen V = 4/3
Resultados:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Arista a = 1,4142136
Altura lateral h1 = 1,2247449
Altura h2 = 2
Esfera circunscr. rc = 1
Esfera inscrita ri = 0,57735027
Superficie O = 6,9282032
Dodecaedro
Dado:
¯¯¯¯¯
Diagonal lateral d = 2
Resultados:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Arista a = 1,236068
Altura lateral h = 1,902113
Esfera circunscr. rc = 1,7320508
Esfera inscrita ri = 1,3763819
Volumen V = 14,472136
Superficie O = 31,543867
Icosaedro
Dado:
¯¯¯¯¯
Altura h2 = 2
Resultados:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Arista a = 1,0514622
Altura lateral h1 = 0,910593
Esfera circunscr. rc = 1
Esfera inscrita ri = 0,79465447
Volumen V = 2,5361507
Superficie O = 9,5745414
Otros Cuerpos
El programa calcula todas las magnitudes de un prisma regular, un cilindro circular recto, una pirámide cuadrada, un cono circular recto o una esfera, cuando se dan dos de ellas.
El prisma
Dado:
¯¯¯¯¯ Vértices n = 6
Volumen V = 1
Superficie O = 6
1. solución
¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Arista basal a = 0,48169215
Altura h = 1,6588571
Radio circunscr. rc = 0,48169215
Radio inscrito ri = 0,41715764
Área basal G = 0,60282468
El cilindro recto
Dado:
¯¯¯¯¯
Radio r = 1
Volumen V = 1
Resultados:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Altura h = 0,31830989
Perímetro u = 6,2831853
Área basal G = 3,1415927
Área lateral M = 2
Superficie O = 8,2831853
La pirámide cuadrada
Dado:
¯¯¯¯¯
Arista basal a = 1
Volumen V = 1
Resultados:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Arista lateral s = 3,082207
Altura h1 = 3
Altura lateral h2 = 3,0413813
Superficie O = 7,0827625
Área basal B = 1,5206906
El cono circular
Dado:
¯¯¯¯¯
Volumen V = 1
Área basal G = 1
Resultados:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Radio r = 0,56418958
Altura h = 3
Generatriz s = 3,0525907
Área lateral M = 5,4105761
Superficie O = 6,4105761
La esfera
Dado:
¯¯¯¯¯
Superficie O = 1
Resultados:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Radio r = 0,28209479
Diámetro d = 0,56418958
Perímetro p = 1,772453
Volumen V = 0,094031597
Recta a través de 2 puntos
Recta a través de
A(1|1|1), B(2|5|6)
Representación paramétrica
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
-> ⎧ 1 ⎫ ⎧ 1 ⎫
x = ⎪ 1 ⎪ + t·⎪ 4 ⎪
⎩ 1 ⎭ ⎩ 5 ⎭
Distancia desde el origen:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
d = 0,78679579
Posición con respecto al plano xy
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
senkr.Proj: 4·x - y = 3
Schnittpkt: S1(0,8|0,2|0)
Schnittwkl: 50,490288°
Posición con respecto al plano yz
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
senkr.Proj: 5·x - 4·y = 1
Schnittpkt: S2(0|-3|-4)
Schnittwkl: 8,8763951°
Posición con respecto al plano xz
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
senkr.Proj: 5·x - y = 4
Schnittpkt: S3(0,75|0|-0,25)
Schnittwkl: 38,112927°
Plano través de 3 puntos
Plano través de los puntos:
A(1|2|3), B(2|3|3), C(1|0|1)
Forma punto-pendiente:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
-> ⎧ 1 ⎫ ⎧ 1 ⎫ ⎧ 0 ⎫
x = ⎪ 2 ⎪ + r·⎪ 1 ⎪ + s·⎪ 1 ⎪
⎩ 3 ⎭ ⎩ 0 ⎭ ⎩ 1 ⎭
Ecuación en coordenadas:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
x - y + z = 2
Distancia desde el origen:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
d = 1,1547005
Puntos de corte con los ejes
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Sx(2|0|0)
Sy(0|-2|0)
Sz(0|0|2)
Esfera a través de 4 puntos
Esfera a través de:
A(1|0|0), B(0|2|0),
C(0|0|3), D(1|0|1)
Forma normal:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
| -> ⎧-2,5 ⎫ |2
K: | x - ⎪-0,5 ⎪ | = 12,75
| ⎩ 0,5 ⎭ |
Centro y radio:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
M(-2,5|-0,5|0,5)
r = 3,5707142
Intersecciones en el espacio
Las intersecciones entre dos líneas, una línea y el plano, dos planos, una línea y una esfera, un plano y una esfera y entre las dos esferas se calculan.
Dos rectas
-> ⎧ 5 ⎫ ⎧ 0 ⎫
g : x = ⎪ 0 ⎪ + r·⎪ 1 ⎪
⎩ 0 ⎭ ⎩ 1 ⎭
-> ⎧ 0 ⎫ ⎧ 1 ⎫
h : x = ⎪ 5 ⎪ + s·⎪ 0 ⎪
⎩ 0 ⎭ ⎩ 1 ⎭
Punto de intersección:
S(5|5|5)
Ángulo de intersección:
α = 60°
Distancias de origen :
d(O,g)=5 d(O,h)=5
Plano y recta
-> ⎧ 5 ⎫ ⎧ 0 ⎫
g : x = ⎪ 0 ⎪ + r·⎪ 1 ⎪
⎩ 0 ⎭ ⎩ 1 ⎭
E : x + y + z = 5
Punto de intersección:
S(5|0|0)
Ángulo de intersección:
α = 54,73561°
Esfera y recta
-> ⎧ 1 ⎫ ⎧ 1 ⎫
g : x = ⎪ 0 ⎪ + r·⎪ 1 ⎪
⎩ 0 ⎭ ⎩ 1 ⎭
K : M(5|5|5) , r = 5
Puntos de intersección :
S1(2,8187|1,8187|1,8187)
S2(8,5147|7,5147|7,5147)
Longitud de la cuerda:
s = 9,8657657
Dos planos
Dado los planos:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
E1 : 5·x - 2·y = 5
E2 : 2·x - y + 5·z = 8
Recta de intersección:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
-> |-11 | | 10 |
g : x = |-30 | + r·| 25 |
| 0 | | 1 |
Distancia desde el origen:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
d = 1,5057283
Ángulo de intersección:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
α = 65,993637°
Dos esferas
Dado las esferas: ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ K1 : M1(3|3|3) , r1 = 3 K2 : M2(1|1|1) , r2 = 3 Círculo de la intersección: ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ M(2|2|2), r = 2,4494897 Plano de la intersección: ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ E : x + y + z = 6
Esfera y plano
Plano :
¯¯¯¯¯¯¯
E : 5·x - 4·y + 5·z = -3
Esfera :
¯¯¯¯¯¯¯
| -> ⎧ 1 ⎫|2
K : | x - ⎪ 2 ⎪| = 16
| ⎩ 3 ⎭|
Círculo de la intersección:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
M(-0,13636|2,9091|1,8636)
r = 3,548367
Distancias en la esfera
Se calcula la distancia entre dos puntos en una esfera.
GPS decimal ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ Berlin : 52.523403, 13.4114 es-new York : 40.714268, -74.005974 GPS dms ¯¯¯¯¯¯¯ Berlin : 52° 31' 24.2508" N, 13° 24' 41.0400" E es-new York : 40° 42' 51.3648" N, 74° 0' 21.5064" W . . . Distancia ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ d = r · α [rad] = 6385,112
